《普林斯顿数学分析读本》精华读本
作者：[美]拉菲·格林贝格 | 评分：713 | 基于微信读书热门划线及深度思考整理
海阔凭鱼跃 天高任鸟飞
🔥 热门划线 #1（1973人划线）
海涅–博雷尔定理是实分析的中心结果之一，特别是关于紧集理论的中心结果。
用户思考精选：
- @🐛 (37.0👍)：实分析 不同于 微积分，甚至与线性代数也完全不同。除了更难之外，这门课并不适合通过记忆公式和算法并将已知条件代入的学习方法。相反，你要反复地阅读定义和证明，直到理解了更宽泛的概念，这样才能把这些概念应用到自己的证明中。
我当初使用的是Walter Rudin编写的《数学分析原理（第3版）》 ［Principle of Mathematical Analysis，也被称为Baby Rudin或者That Grueling Little Bule Book（那本折磨人的小蓝书）］。通常认为，这本书是经典的、标准的实分析教材。我现在非常佩服Rudin，他的书条理清晰、简明扼要。但我可以告诉你，当我第一次学习那本书时，整个过程十分艰难。它没有给出任何解释！Rudin列出了一些定义，但没有给出例子，并在没有告知他是如何思考的情况下写出了完美的证明。
什么是实分析
数学家把实分析称为严格的微积分。“严格”意味着我们进行的每一步以及使用的每一个公式都必须得到证明。如果从一组称为公理或假说的基本假设出发，那么我们总是可以通过一个又一个合理的步骤得到最终想要的结论。
在微积分中，你可能已经证明了一些重要结论，但其中有很多结果被认为是显而易见的。究竟什么是极限，如何确定什么时候无穷和会“收敛”到一个数？每一门实分析基础课都会重新介绍连续性、可微性等这些你曾见过的概念，但这一次，我们要弄清楚这些概念的本质。当弄清楚这些之后，你基本上就证明了微积分的合理性。
实分析通常是纯数学理论的第一门课程，因为它在熟悉的材料背景下向你介绍纯数学的重要思想和方法。
一旦严格地掌握了那些熟悉的概念，你就可以把这种思维方式应用到不熟悉的领域里。实分析的核心问题是：“如何把某些概念（比如和）推广到无限的情形？”如果不进行严格论证，我们就无法理解像无穷和这样的难题。因此，你必须掌握那些核心的证明技巧，进而将它们应用到那些更有趣的新问题上（并非高中微积分）。
这本书涵盖了经典实分析课程第一学期的大部分内容，但你的学校可能会介绍更多相关知识。如果这本书没有完全涵盖学校的课程，你也不要惊慌！每一步都要建立在它之前的基础上，所以成功最重要的因素是对基础知识的理解。我们将详细介绍这些基础知识，以确保你有一个坚实的基础来继续学习（同时避免使用易造成混淆的隐晦说法，比如“这句”）。
一些推荐书的清单以及我的注解和评价，请阅读参考书目。
- @Robert.Fontaine (29.0👍)：好书，就是这个排版实在是......
- @十有余一 (27.0👍)：值得一读，必须读一读。
🔥 热门划线 #2（800人划线）
写这篇短文，是想向读者推荐一本值得认真阅读或者在教学中参阅（如果读者是一位高校数学教师的话）的好书，书的原名是The Real Analysis Lifesaver: All the Tools You Need to Understand Proofs，一个比较冗长的中文翻译是《实分析的救生员：理解实分析中的证明所需的工具尽在于此》。
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🔥 热门划线 #3（736人划线）
所谓严格性就是必须时时处处按照逻辑规则来思考、来计算、来表述。
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第一部分 预备知识
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如果从一组称为公理或假说的基本假设出发，那么我们总是可以通过一个又一个合理的步骤得到最终想要的结论。
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第2章 基础数学与逻辑
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命题1.如果，那么n属于。
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🔥 热门划线 #2（1146人划线）
数学归纳法就像多米诺骨牌一样：如果我们把所有的多米诺骨牌都摆好，然后只撞倒第一张骨牌，那么其余所有的骨牌都会倒下。
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🔥 热门划线 #3（1116人划线）
要想得出一个直接证明，你需要反复思考一段时间，直到你找到了问题的症结并弄清楚该如何解决它为止。
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🔥 热门划线 #4（561人划线）
从理论上讲，所有定义都应该写成“当且仅当”（if and only if）。
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第8章 可数性
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对于任意两个集合A和B，如果，那么A和B要么是元素个数相同的有限集，要么都是可数集，要么都是不可数集。
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第11章 紧集
🔥 热门划线 #1（390人划线）
证明.证明其实很简单，关键是F在K中的补集是开集，所以这个补集与F的一个开覆盖共同构成了K的开覆盖，然后取K的一个有限子覆盖，再从中去掉即可。
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第12章 海涅–博雷尔定理
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如果E是紧集，那么由定理11.7可知，E是中的闭集，而根据定理11.10, E也是中的有界集。
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第15章 极限与子序列
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换句话说，一个实向量序列收敛到x等于说：对于每一个维度，由序列中每个向量的第个分量组成的序列收敛到x的第个分量。
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第17章 子序列极限
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记住，在扩张的实数系中，如果一个集合没有上界，那么它的上确界就是+∞；
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🔥 热门划线 #2（812人划线）
（在扩张的实数系中）存在且是唯一的，（在扩张的实数系中）存在且是唯一的。
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第20章 总结
🔥 热门划线 #1（2232人划线）
第4章.利用最小上界的两条性质：集合中的每一个数都不可能大于它，任何小于它的数都不是集合的上界。
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🔥 热门划线 #2（2205人划线）
第17章.不要害怕取子序列的子序列！
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🔥 热门划线 #3（1913人划线）
第15章.你可以像归纳证明那样去构造一个特定的子序列：定义，然后假设某结论对成立，并证明该结论对也成立。
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🔥 热门划线 #4（1355人划线）
所以你可以把你所知道的关于序列的所有知识都应用到级数中，另外级数还有比较判别法（参见定理19.5和定理19.6）和柯西凝聚判别法（参见定理19.9）。
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🔥 热门划线 #5（1100人划线）
第2章.有时候，一个看似复杂的证明可以利用一种简单的方法来完成：举反例、证明逆否命题、反证法或归纳法。
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🔥 热门划线 #6（280人划线）
另外，在处理指数时，通常需要使用二项式定理来展开，然后当证明或某个值时，你可以把大部分项都删掉。
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📖 补充点评（按点赞精选）
因划线思考较少，以下补充全书高赞独立点评，以丰富视角。
📝 @weak pedant (5.0👍)
书是好书，评分差的话只能怪排版@微信读书
📝 @Tiny (4.0👍)
排版太差了，一些公式符号太模糊看不清甚至看不全
📝 @野生奥特曼 (1.0👍)
排版太差，根本看不下去
统计：涵盖 9 个章节，20 条热门划线，3 条精选思考。